【T4】在庫という見えない物流費 在庫理論は何を最適化したのか

本レポートの対象と方法Scope and Method

本稿が検証の対象とするのは、在庫理論(inventory theory)が何を最適化しようとしたか、そしてそれによって物流研究の対象が「輸送(モノの移動)」から「在庫(モノを止めること)」へ拡張されたと言えるか否かである。第3回までで見たとおり、輸送経済学とORは主として輸送・運賃・経路・配分を扱ってきた。本稿は、在庫がこれらと並ぶ最適化対象として研究されるに至った経緯を、文献に即して検証する。

エビデンスの扱いHandling of Evidence

本稿は、査読論文、学術書、ORの歴史を扱う学会資料、原著論文の二次的確認を主たる典拠とする。歴史的経緯(EOQの定式化年、確率的在庫理論の起点、トヨタ生産方式の展開時期)は、二次文献によって繰り返し確認できる事項を中心に記述する。在庫理論が物流研究を「拡張した」か否かの評価的記述は、事実と区別し推論として扱う。経営史上の事例(GM・フォード・トヨタ)については、確認できる範囲で記し、確認できない事項は「不明」とする。

産業革命以前から大量生産までFrom Pre-industrial Stocks to Mass Production

本章では、在庫が経済活動のなかでどう扱われてきたかを、産業革命以前から大量生産の時代まで概観する。在庫理論が解こうとした問題の背景を確認することが目的である。

商業資本における在庫Inventory in Commercial Capital

産業革命以前においても、商業に携わる者は在庫(商品の手持ち)を抱えていた。商人は、仕入れた商品を販売するまでの間それを保有し、その間、資本がその商品に拘束された。在庫は、売れるまでは現金化されない資産であり、保有には費用(倉庫・劣化・資本の機会費用)が伴う。この「在庫は資本を拘束し費用を生む」という認識自体は、近代的な在庫理論の成立以前から、商業実務のなかに存在していたと考えられる。ただし、それを数理的に最適化する枠組みが成立するのは後年である。

大量生産と需要予測の困難Mass Production and Demand Uncertainty

19世紀後半から20世紀にかけての大量生産の拡大は、在庫をめぐる問題を新たな形で前景化させた。大量に生産・販売される製品については、どれだけ作り、どれだけ在庫として持つかが、反復的に判断される問題となる。ここで生じる困難の一つが需要予測の困難性である。将来の需要が確実にわかるなら、必要な量だけを過不足なく用意すればよい。しかし需要は不確実であり、多く持てば保管・資本拘束の費用がかさみ、少なく持てば欠品(品切れ)による損失が生じる。この「持ちすぎの費用」と「持たなさすぎの費用」のあいだのトレードオフが、在庫理論が解こうとする中心的な問題となる。

ハリスと経済的発注量Harris and the EOQ

本章では、在庫理論の数理的な起点とされるハリスの経済的発注量(EOQ)モデルを取り上げ、それが何を最適化しようとしていたかを整理する。

1913年論文と EOQ の定式化The 1913 Paper

在庫の数理的な研究のうち、発注量の決定を扱うEOQモデルの起源として、複数の二次文献が一致して挙げるのが、F. W. ハリスによる1913年の経済的発注量(Economic Order Quantity, EOQ)モデルである^[1][2]。ここで述べるのはEOQモデルの起源であって、在庫理論全体の起源と完全に同義ではない点に留意する。在庫に関わる経済的な認識は商業実務に古くから存在し(前章参照)、また確率的在庫理論などEOQ以外の系統は後年に展開する。ハリスの原論文は “How many parts to make at once” と題され、1913年に Factory, The Magazine of Management 誌に掲載されたとされる^[2]。論文の表題自体が示すとおり、これは「一度にいくつ作る(発注する)べきか」という、発注量の決定問題を扱うものである。

EOQモデルが最適化しようとした対象は、明示的に発注に関わる費用の合計(総費用)である。一度に大量に発注すれば、発注の回数が減り、一回あたりの発注費(または段取費)の総額は下がる。しかし、大量に発注すれば在庫が増え、それを保有する費用(保管費・資本拘束)がかさむ。逆に、少量ずつ頻繁に発注すれば、在庫保有費は下がるが、発注費の総額が増える。この発注費と在庫保有費という、互いに相反する二種類の費用のトレードオフを捉え、両者の合計を最小化する発注量を求めるのがEOQモデルである^[1]。

EOQ の最適解The Optimal Order Quantity

定数需要を \( D \)、一回あたりの発注費(段取費)を \( K \)、単位あたりの年間在庫保有費を \( h \) とすると、総費用を最小化する発注量(経済的発注量)は、複数の二次文献によって次の平方根公式で与えられると記述されている^[1]。

$$
Q^{*} = \sqrt{\frac{2KD}{h}}
$$

この式が示すのは、最適な発注量が、需要と発注費に対して増加し、在庫保有費に対して減少するという関係である。なお、ハリスの原論文は発表後しばらく広く参照されず、公式の起源をめぐって長く混乱があったが、1980年代末から1990年頃にエルレンコッターらによってハリスの寄与が再評価された、とORの歴史を扱う文献に記述されている^[1]。この公式は「ウィルソンの公式」と呼ばれることもあり、ウィルソンやキャンプによる後続の定式化・普及も二次文献に言及される^[1][9]。

在庫がもたらす経済的負担The Economic Burden of Inventory

本章では、在庫理論が在庫をどのような経済的負担として捉えたかを、費用の構成要素に即して整理する。EOQモデルが扱った発注費・在庫保有費に加え、後の理論が扱う欠品コストを含めて確認する。

在庫に関わる費用の構成Components of Inventory Cost

在庫理論が扱う費用は、主として次の要素から構成される。

• 発注費(段取費)：一回の発注(または生産の段取り)に伴う固定的な費用。発注回数に比例して総額が増える。
• 在庫保管費：在庫を物理的に保有することに伴う費用。倉庫費・保険・劣化・陳腐化などを含む。
• 資本拘束(機会費用)：在庫に投じられた資本が、他の用途に使えないことから生じる費用。在庫保有費の重要な構成要素であり、在庫が「眠っている資本」であることを示す。
• 欠品コスト(品切れ費用)：需要に対して在庫が不足した場合に生じる損失。販売機会の逸失、顧客の信用低下、生産停止などを含む。

これらのうち、発注費と在庫保管費(資本拘束を含む)はEOQモデルが扱った要素である。欠品コストは、需要が確実な場合には生じないが、需要が不確実な場合に重要となり、後述する確率的在庫理論が中心的に扱う。

不確実性と確率的在庫理論Uncertainty and Stochastic Inventory Theory

本章では、需要の不確実性を扱う確率的在庫理論の展開と、安全在庫・需要変動・リードタイムといった概念を整理する。EOQモデルが需要を確定的なものと仮定したのに対し、現実の需要は変動するため、この拡張が重要となる。

確定モデルから確率モデルへFrom Deterministic to Stochastic Models

EOQモデルは、需要が一定で確実であると仮定する確定的(deterministic)なモデルである。しかし現実の需要は変動し、不確実である。需要が確率的(stochastic)である場合の在庫モデルについては、K. アロー、T. ハリス、J. マルシャックらによる1951年の研究が、確率的在庫理論の代表的な出発点の一つとして複数の文献に挙げられている^[3]。なお、同時代にはドヴォレツキー・キーファー・ウォルフォウィッツやベルマンらによる研究もあり、確率的在庫理論を単一の論文の起点に帰すことはできない。これらの研究により、在庫理論の最適化対象は、確定的状況下の発注量から、不確実性下での在庫方策(いつ・どれだけ発注するか)へと拡張された。

安全在庫・需要変動・リードタイムSafety Stock, Demand Variability, and Lead Time

需要が不確実な状況では、欠品を避けるために、平均的な需要を満たす量に加えて、変動に備えた余分の在庫を持つことが考えられる。この余分の在庫が安全在庫(safety stock)である。安全在庫の必要量は、需要の変動の大きさ(需要変動)と、発注してから入荷するまでの時間(リードタイム)に依存する。需要の変動が大きいほど、またリードタイムが長くその間の需要の不確実性が大きいほど、欠品を避けるために必要な安全在庫は増える。確率的在庫理論は、欠品コストと在庫保有費のトレードオフのもとで、適切な安全在庫の水準(あるいは発注点)を求める枠組みを提供する。こうした不確実性下の在庫問題における最適方策の理論的な性質(一定の条件下で最適となる方策の形)は、後年の研究によってさらに分析された^[8]。

アメリカ企業と在庫Inventory in American Firms

本章では、20世紀のアメリカ企業、とりわけGMとフォード、および戦後アメリカ企業において、在庫がどのような役割を果たしたかを、確認できる範囲で整理する。

大量生産と在庫Mass Production and Inventory

フォードの生産方式は、大量生産による効率化を追求したものとして知られる。ある解説資料は、JITの起源をたどる文脈で、フォードの生産ラインがフロー(連続的な流れ)を重視し、工程内の滞留や余剰在庫の削減を志向していたことに言及している^[4]。ただし、フォードの生産方式は、同一製品を大きなバッチ(まとまった量)で生産するものであり、製品の多様性や需要への密な連動を前提としていなかったとされる^[4]。GM(ゼネラルモーターズ)については、20世紀前半に多様な車種を展開する事業構造をとったことが知られるが、その在庫管理の具体的な方式について、本稿が参照しえた資料の範囲では、体系的・定量的な記述を十分に確認できなかった。したがって、GMの在庫管理の詳細については「十分なエビデンスが見当たらない」とせざるをえない。

戦後アメリカ企業と在庫管理Postwar American Firms

戦後のアメリカ企業における在庫管理について、後述するトヨタの事例に関する資料は、アメリカの製造業者が経済的発注量(EOQ)を広く用いていたと記述している^[5]。すなわち、戦後アメリカの製造業では、EOQに代表される在庫理論が、発注量の決定に実務的に用いられていたとされる。ただし、その普及の程度(どの企業が・どの範囲で・どの時期に用いたか)についての体系的な記述は、本稿の範囲では十分に確認できなかった。確認できるのは、EOQ型の在庫管理がアメリカ製造業で用いられていたという一般的記述までである。

トヨタ生産方式とジャストインタイムThe Toyota Production System and JIT

本章では、トヨタ生産方式(Toyota Production System, TPS)とジャストインタイム(Just-in-Time, JIT)を取り上げ、それがアメリカ型の在庫管理(EOQに代表される)とどう異なるかを整理する。これは、在庫に対する二つの異なるアプローチを対比する点で重要である。

大野耐一とジャストインタイムTaiichi Ohno and JIT

トヨタ生産方式は、大野耐一らによって、おおむね戦後から1970年代にかけて構築されたとされる^[6]。大野耐一は「JITの父」と称されることが多い^[5][6]。ジャストインタイム(JIT)は、「必要なものを、必要なときに、必要な量だけ生産する」という考え方であり、過剰な在庫を持たないことで、在庫保有に伴う無駄(ムダ)を排除することを志向する^[6][7]。トヨタ生産方式は、在庫を含む各種の無駄(ムダ)の徹底的な排除を中心思想とすると、複数の資料に記述されている^[6]。

EOQ との対比Contrast with the EOQ Approach

JITとアメリカ型在庫管理の違いを示す記述として、ある資料は次のように整理している。大野は、アメリカの製造業の在庫管理手法(経済的発注量(EOQ)を含む大量発注型の手法)を研究していたとされるが、当時のトヨタにはそうした方法が適さないと考えた^[5]。なお、大野自身がEOQという特定の手法をどの程度直接に認識していたかを示す一次資料は限られており、確実に言えるのは、大野がアメリカの生産・在庫管理を研究の対象としていたことまでである。その理由として挙げられるのは、戦後日本の国内総需要が小さく、市場が多種少量(多くの異なる車種を少量ずつ)の生産を求めていたという条件である^[5]。こうした条件のもとで、大野は、需要に合わせて生産し、在庫を減らし、無駄を排除するJITの考え方を案出したとされる^[5]。

ここで重要なのは、両者の在庫に対する捉え方の違いである。EOQに代表される在庫理論は、発注費と在庫保有費のトレードオフのもとで、最適な在庫量(発注量)を求める。すなわち、一定量の在庫を持つことを前提とし、その最適水準を計算する。これに対しJITは、在庫を減らすべき無駄(ムダ)とみなし、在庫を可能な限り減らすことを志向する^[5][6]。ただし、両者を単純に「対立」と捉えることは正確でない。JITも完全なゼロ在庫を目指すわけではなく、需要への連動のもとで在庫水準を抑えるという意味で、広義には在庫の最適化の一形態とみることもできる。両者の違いは、対立というより、在庫に対する異なる管理思想──在庫を一定量持つことを前提に最適水準を計算する思想と、在庫そのものを減らすべき無駄とみて削減を志向する思想──として整理するのが正確である。

輸送から在庫へ──対象は拡張されたかFrom Transport to Inventory

本章では、本シリーズが検討してきた「輸送研究 → 経路最適化 → 在庫理論」という流れを整理し、在庫理論によって物流研究の対象が拡張されたと言えるかを検証する。

三つの対象の関係The Relation among the Three Objects

第2回・第3回・第4回で見た対象を対照すると、次のように整理できる^[10]。輸送経済学は運賃・輸送費という「モノの移動の費用」を、ORは経路・配分という「モノの移動の仕方」を、在庫理論は発注量・在庫方策という「モノを止めることの費用」を扱った。輸送が「モノの移動」に関わるのに対し、在庫は「モノの停止(保有)」に関わる点で、両者の対象は異なる。

検証――三つの問いへの回答Answering the Three Questions

本章では、本稿が掲げた三つの問いに、支持される／支持されない／十分なエビデンスがない、のいずれかで答える。

在庫理論は何を最適化しようとしたのかWhat Did Inventory Theory Optimize?

この問いについては、明確に支持される回答がある。在庫理論が最適化しようとした対象は、在庫に関わる費用の合計である。EOQモデルにおいては発注費と在庫保有費の合計^[1]、確率的在庫理論においてはこれに欠品コストを加えた期待費用^[3]であり、決定変数は発注量・発注点・安全在庫である。これは複数の文献によって確認できる。一方、JITに代表される系統は、在庫を最適化する対象とみるより削減すべき無駄とみる点で、これとは異なる発想に立つ^[5][6]。したがって「在庫理論は在庫関連費用の合計を最適化しようとした」という命題は、EOQ・確率的在庫理論の系統について支持される。

在庫理論は物流研究の対象を拡張したのかDid It Expand the Object?

この問いについては、部分的に支持されるが、留保を要する。在庫理論が、輸送・経路とは異なる対象(モノの保有に伴う費用)を明示的な最適化問題として扱ったことは確認できる^[1][3]。この限りで、物流研究が扱う対象に「在庫」が含まれることになったという整理は支持される。ただし留保がある。第一に、在庫理論の起点(ハリス1913年)は、本シリーズ第2回・第3回で扱った輸送経済学の数理的展開やOR(1940年代〜)よりも時期的に早い。したがって「輸送研究の後に在庫理論が対象を拡張した」という単線的な時系列は、史実と整合しない。在庫の数理的研究は、むしろ物流の数理的研究の最初期に位置する。第二に、在庫研究には最適化系統(EOQ等)と削減系統(JIT等)があり、後者は「最適化対象としての在庫」という枠に収まらない。

物流研究史は最適化対象の拡張として理解できるのかExpansion of the Optimization Object?

この問いについては、支持される部分と支持されない部分があり、全体としては十分なエビデンスがない。支持される部分は、輸送(運賃・経路)と在庫という異なる対象が、いずれも最適化問題として研究されてきたことが確認できる点である。これらを並べれば、物流研究が複数の対象を最適化の俎上に載せてきたという整理は可能である。支持されない部分は、これらが「輸送 → 経路 → 在庫」という順序で段階的・累積的に拡張したとする時系列的な図式である。在庫の数理研究(1913年)は輸送のOR的研究(1940年代〜)より早く、対象は順番に追加されたのではなく並行して発展した。十分なエビデンスがない部分は、物流研究全体のなかで各対象がどの時期にどの比重を占めたかを定量的に示す資料が確認できない点である。したがって「最適化対象の拡張史」という枠組みは、複数の対象が最適化されてきたという限りで部分的に成り立つが、単線的・累積的な拡張史としては支持されない。

参考文献References

1. [1] Erlenkotter, D. “Ford Whitman Harris and the Economic Order Quantity Model.” Operations Research, Vol. 38, No. 6, 1990, pp. 937–946.（EOQの起源、平方根公式、ハリス原論文の再発見、ウィルソン・キャンプへの言及）https://pubsonline.informs.org/doi/10.1287/opre.38.6.937
2. [2] Harris, F. W. “How Many Parts to Make at Once.” Factory, The Magazine of Management, Vol. 10, No. 2, 1913, pp. 135–136.（EOQモデルの原論文。複数の二次文献により確認）
3. [3] Arrow, K. J., Harris, T. & Marschak, J. “Optimal Inventory Policy.” Econometrica, Vol. 19, No. 3, 1951, pp. 250–272.（確率的在庫理論の起点として複数文献に参照）
4. [4] “The Origins of Just-In-Time.”（JITの起源、フォードの生産ラインにおける在庫負担の認識、戦後日本の大野によるJITの展開、1973年石油危機後の普及、米国への伝播と初期の限定的成果に関する記述）Quality and Innovation. https://qualityandinnovation.com/
5. [5] “Just in Time（解説資料）.”（大野耐一がアメリカ製造業のEOQ利用を把握しつつ、戦後日本の多種少量・低需要の条件下では適さないと考え、JITを案出したことに関する記述）https://centerforlean.com/
6. [6] Toyota Motor Corporation, “Toyota Production System.”（トヨタ生産方式・JITの構築、大野耐一の役割、ムダ排除の思想、構築時期に関する記述）https://global.toyota/en/company/vision-and-philosophy/production-system/
7. [7] Ohno, T. Toyota Production System: Beyond Large-Scale Production. Productivity Press, 1988.（原著 1978年。大野耐一によるトヨタ生産方式の解説。JIT・ムダ排除の一次的記述）
8. [8] Scarf, H. E. “The Optimality of (s, S) Policies in the Dynamic Inventory Problem.” In Arrow, K. J., Karlin, S. & Suppes, P. (eds.), Mathematical Methods in the Social Sciences, Stanford University Press, 1960.（確率的在庫問題における最適方策の理論的展開）
9. [9] Wilson, R. H. “A Scientific Routine for Stock Control.” Harvard Business Review, Vol. 13, 1934, pp. 116–128.（EOQ公式の普及に寄与した文献。いわゆる「ウィルソンの公式」）
10. [10] 本シリーズ第2回「市場はなぜ物流を必要とするのか ― 輸送経済学の誕生」および第3回「物流が数学になった日 ― オペレーションズ・リサーチ革命」（輸送経済学・ORが扱った最適化対象に関する整理）。

本レポートは「物流研究史から見る最適化思想の拡張」シリーズ第4回として、在庫理論が何を最適化しようとしたか、それによって物流研究の対象が拡張されたと言えるかを、既存の研究文献(EOQ・確率的在庫理論の研究、トヨタ生産方式・JITに関する資料)に基づいて整理した調査レポートである。歴史的経緯および各理論の定式化は、二次文献によって確認できる範囲で記述し、評価的記述は推論として明示した。GMの在庫管理の詳細やEOQの企業普及の全体像など、十分なエビデンスを確認できない事項は「不明」「十分なエビデンスが見当たらない」と記した。本レポートは提言・ビジネス指南・将来予測を含まない。第1回で提示した「最適化対象の拡張」という枠組みは、本稿では検証対象として扱い、結論において支持される部分・支持されない部分・十分なエビデンスがない部分に分けて整理した。