【MG06】ゲーム理論 進化ゲーム理論と行動経済学との接続

はじめに

MG05では、政策・規制への適用事例を扱った。本稿は、MGシリーズの最終回として、進化ゲーム理論と、行動経済学との接続を扱う。進化ゲーム理論は、これまでの各稿で前提としてきた、「プレイヤーは、常に、合理的に、自らの利得を最大化する」という、仮定そのものを、置き換える、理論的な系譜である。あまり、目にする機会が、多くない分野であるため、本稿では、数式を交えながら、通常より、丁寧に、その考え方の、土台から、説明する。

進化ゲーム理論という、発想の転換

「合理的な選択」から、「生き残った戦略」へ

MG01からMG05までで扱ってきた、古典的なゲーム理論は、プレイヤーが、自らの利得を、理性的に計算し、最適な戦略を、選び取る、という前提に、立っていた。進化ゲーム理論は、これとは、全く異なる、出発点を持つ。この理論において、プレイヤーは、計算をする、意識的な主体ではない——プレイヤーとは、生物の個体（あるいは、個体群の中の、ある「型」）であり、それぞれの個体は、生まれつき、決まった行動様式（戦略）を、持って生まれてくる。ある戦略を持つ個体が、他の戦略を持つ個体よりも、多くの子孫を残せば、その戦略は、集団の中で、次第に、割合を増やしていく。逆に、不利な戦略を持つ個体は、次第に、集団から、淘汰されていく。つまり、進化ゲーム理論における「均衡」とは、プレイヤーが、賢く計算した結果ではなく、世代を超えた、淘汰の結果として、集団の中に、生き残っている、戦略の組み合わせを、指す。

メイナード・スミス＆プライスによる、1973年の、確立

「動物の争いの論理」という、論文

進化ゲーム理論は、1973年、生物学者ジョン・メイナード・スミスと、ジョージ・R・プライスが、『ネイチャー』誌に発表した、論文「動物の争いの論理」によって、確立された[1]。この論文以前、動物が、なぜ、しばしば、命がけの、全面的な争いを、避けるのかについては、「種にとって、共食いは、不利益だから」という、種全体の利益を、前提とする、説明が、なされていた。メイナード・スミスとプライスは、この、種全体を単位とする発想を、退け、個体の水準における、ゲーム理論的な、説明を、提示した[2]。

タカ・ハトゲームという、具体的なモデル

MG02で扱った、タカ・ハトゲームは、まさに、この論文が、提示した、モデルである。ここでは、この利得構造を、数式で、正確に、確認する。資源の価値をb（b＞0）、争いに敗れた場合の、コスト（怪我等）をc（c＞0、かつ、c＞bとする——全面的な争いのコストが、資源の価値そのものより、大きいことを、意味する）とすると、利得行列は、次のように、表される[3]。

タカ対タカ： (b − c) / 2　　タカ対ハト： b
ハト対タカ： 0　　　　　　　　ハト対ハト： b / 2

ハト同士が出会えば、争わずに、資源を、b/2ずつ、分け合う。ハトが、タカと出会えば、ハトは、争わずに、退却し、利得はゼロ、タカが、資源bを、まるごと得る。タカ同士が出会えば、争いとなり、勝敗は、五分五分であるため、期待利得は、（勝った場合の利得bと、負けた場合の利得−c の、平均）である、(b−c)/2 となる——c＞bという、仮定のもとでは、この値は、必ず、負になる。

進化的に安定な戦略（ESS）という、正式な定義

メイナード・スミスとプライスは、この論文において、進化的に安定な戦略（ESS）という、均衡概念を、定義した[4]。ある戦略sが、ESSであるとは、次の性質を、満たすことを、意味する——集団のほぼ全員が、戦略sを、取っている状況に、ごくわずかな割合の、変異戦略s′が、入り込んできたとしても、その変異戦略が、集団に、広がっていくことが、できない、という性質である[5]。これを、数式で表すと、任意の変異戦略s′（s′≠s）について、次の、いずれかが、成り立つ必要がある——第一の条件は、E(s,s)＞E(s′,s)——sは、自分自身に対して、s′が、sに対して得るよりも、高い利得を得る。この条件が、厳密に成り立つ場合、sは、単独で、ESSの要件を、満たす。もし、この不等式が、等号（E(s,s)＝E(s′,s)）でしか、成り立たない場合には、第二の条件——E(s,s′)＞E(s′,s′)、すなわち、sが、変異戦略s′に対して得る利得が、s′が、自分自身に対して得る利得よりも、高いこと——が、あわせて、満たされる必要がある[5]。

なぜ、純粋な「タカ」戦略は、ESSではないのか

タカ・ハトゲームに、このESSの定義を、当てはめてみる。もし、集団の、ほぼ全員が、純粋な「タカ」戦略を、取っているとする。そこに、ごくわずかな、「ハト」の変異が、入り込んできた場合を、考える。タカが、タカに対して得る利得は、(b−c)/2 であり、ハトの変異が、（多数派の）タカに対して得る利得は、0である。c＞bという、仮定のもとでは、(b−c)/2 は、負の値であるから、0より、小さい。つまり、E(タカ,タカ)＝(b−c)/2 ＜ 0 ＝ E(ハト,タカ) となり、タカ同士の利得の方が、ハトが、タカに対して得る利得よりも、低い——第一の条件（E(s,s)＞E(s′,s)）が、成り立たない。したがって、純粋なタカ戦略は、ESSではなく、ハトの変異は、集団に、侵入できてしまう。同様に、純粋なハト戦略も、タカの変異による、侵入を、許してしまうことが、確認できる（ハトに対して、タカが得る利得bは、ハト同士の利得b/2より、大きいため）。

安定するのは、「混合戦略」——両者が、共存する均衡

純粋な、タカ戦略も、ハト戦略も、ESSでないとすれば、この集団は、最終的に、どのような状態に、落ち着くのか。答えは、一定の割合で、タカとハトが、混在する、混合戦略（あるいは、集団内で、タカとハトの個体が、一定の比率で、共存する状態）である。この、安定する比率をpとして、タカ戦略を取る確率をp、ハト戦略を取る確率を(1−p)とすると、タカに対する、期待利得と、ハトに対する、期待利得が、等しくなる点で、この均衡は、実現する。具体的な計算は、本稿の範囲を超えるが、結論としては、p ＝ b / c という、単純な比率で、安定することが、導かれる——資源の価値bが、争いのコストcに対して、相対的に、大きいほど、より多くの個体が、タカ戦略を取るように、なることを、意味する。

レプリケーター・ダイナミクス——テイラー＆ジョンカーによる、1978年の、動学化

「均衡に、どうやって、たどり着くのか」という、問い

メイナード・スミスとプライスの、1973年の論文は、ESSという、均衡の「状態」を、定義したが、集団が、実際に、どのような、時間経過を経て、その均衡に、たどり着くのかについては、扱っていなかった。1978年、ポール・テイラーとレオ・ジョンカーは、論文「進化的に安定な戦略とゲームのダイナミクス」において、この、時間的な変化の過程を、常微分方程式のシステムとして、モデル化した[6]。これが、レプリケーター・ダイナミクス（複製子動学）である。

方程式の意味——「平均より、優れた戦略は、増える」

レプリケーター方程式は、次のように、表される。ある戦略iの、集団内における、割合をxi、集団の、その時点の状態のもとで、戦略iが得る、期待利得（適応度）をfi(x)、集団全体の、平均適応度をφ(x)とすると、

dxi / dt ＝ xi × [ fi(x) − φ(x) ]

という、方程式が、成り立つ[7]。この式が、意味することは、直感的である——ある戦略の、割合の、時間的な変化率（dxi/dt）は、その戦略の現在の割合（xi）に、「その戦略の適応度と、集団全体の平均適応度との、差」を、掛け合わせたものに、等しい。もし、戦略iの適応度fi(x)が、集団の平均φ(x)より、高ければ、括弧の中は、正の値となり、xiは、増加していく。逆に、平均より、低ければ、xiは、減少していく。この、シンプルな方程式一本が、「平均より優れた戦略は、集団内で、割合を増やし、平均より劣る戦略は、割合を減らしていく」という、自然選択の、基本的なロジックを、数学的に、表現している。

ESSと、レプリケーター・ダイナミクスの関係

ESSという、静学的な均衡概念と、レプリケーター・ダイナミクスという、動学的なモデルは、密接に、関連している——ESSは、多くの場合、レプリケーター・ダイナミクスにおける、安定的な、到達点（漸近的に安定な、固定点）に、一致する。すなわち、レプリケーター方程式に従って、集団の構成比が、時間とともに、変化していくと、（一定の条件のもとで）その行き着く先は、ESSと、一致する。

限定合理性——サイモンによる、先駆的な問題提起

進化ゲーム理論が、「プレイヤーは、計算しない」という、極端な形で、合理性の前提を、置き換えたのに対し、より穏健な形で、この前提に、異議を唱えたのが、限定合理性という、考え方である。この考え方は、人間の、認知能力・情報処理能力・時間には、限界があるため、古典的な意思決定理論が、想定するような、完全な最適化を、常に、行えるわけではない、と論じる。これは、H06で扱った、行動変容理論とも、関わりの深い、発想である。

行動経済学が明らかにした、古典的なゲーム理論からの逸脱

本シリーズが、これまで扱ってきた、複数の事例は、実際の人間の行動が、古典的なゲーム理論の予測から、しばしば、逸脱することを、示していた。MG02で扱った、最後通牒ゲームでは、理論上、合理的な、応答者は、いかなる、正の金額の提示も、受け入れるはずであるが、実験では、著しく不公平な提示は、しばしば、拒否された——これは、人間の意思決定が、純粋な、利得の最大化だけでなく、公正さへの、選好にも、左右されることを、示している。MG03で扱った、ムカデ・ゲームでは、後方帰納法が予測する、部分ゲーム完全均衡（最初のプレイヤーが、直ちに、山を取る）とは、大きく異なり、多くのプレイヤーが、協力的な行動を、続けた。これらの逸脱は、進化ゲーム理論・限定合理性という、本稿で扱った、理論的な視座からも、部分的に、説明できる可能性がある——公正さへの選好・協力的な傾向が、進化の過程において、（短期的な、個々の取引における、損得を超えて）長期的に、有利に働いてきた、行動様式として、集団の中に、定着してきた、という説明である。

MGシリーズ全体の総括

MG01からMG06までを通じて、ゲーム理論の学問的位置づけと、長い前史（MG01）、ゲームの網羅的な分類（MG02、鹿狩りゲームとパレット標準化問題を含む）、解概念の理論（MG03）、メカニズムデザインとマーケットデザイン（MG04）、政策・規制への適用事例（MG05）、そして本稿の、進化ゲーム理論・行動経済学との接続（MG06）を、扱ってきた。これらは、いずれも、「戦略的な相互作用」という、一つの現象を、異なる角度——完全に合理的な計算主体としての、プレイヤー、社会制度としての、メカニズム、そして、淘汰の産物としての、戦略——から、照らし出すものであった。

おわりに

本稿は、MGシリーズの最終回として、進化ゲーム理論の、基本的な発想（合理的な選択から、生き残った戦略への、転換）から、メイナード・スミス＆プライスによる、1973年のESSの、正式な定義（数式を用いた、2条件の確認）、タカ・ハトゲームにおける、混合戦略均衡の導出（p＝b/c）、テイラー＆ジョンカーによる、1978年のレプリケーター・ダイナミクス（dxi/dt＝xi[fi(x)−φ(x)]という方程式の意味）を、丁寧に、確認した。限定合理性、そして、既刊の各稿（最後通牒ゲーム、ムカデ・ゲーム）が示した、古典的なゲーム理論からの逸脱も、あわせて検討した。MGシリーズは、本稿をもって、完結する。

主要先行研究

Maynard Smith & Price（1973）、Taylor & Jonker（1978）[1][6]。

参考資料一覧

1. Maynard Smith, J., & Price, G. R. (1973). The Logic of Animal Conflict. Nature, 246, 15–18.
2. 「Reconciling ecology and evolutionary game theory or ‘When not to think cooperation’」PNAS。種選択という、従来の説明と、個体水準でのゲーム理論的説明への転換について。
3. 同上。タカ・ハトゲームの利得行列（b、cのパラメータ）について。
4. 「Evolutionary Games and Applications: Fifty Years of ‘The Logic of Animal Conflict’」Springer Nature Link。ESSという均衡概念の導入について。
5. 「Computational complexity of evolutionary stable strategies」Theory, Evolution, and Games Group。ESSの正式な数学的定義（2条件）について。
6. Taylor, P. D., & Jonker, L. B. (1978). Evolutionarily Stable Strategies and Game Dynamics. Mathematical Biosciences, 40, 145–156.
7. 「A brief review of evolutionary game dynamics in the reinforcement learning paradigm」arXiv掲載論文。レプリケーター方程式の意味について。

用語集

• 進化ゲーム理論, Evolutionary Game Theory, EGT, —: プレイヤーを、計算する主体としてではなく、淘汰の対象となる、戦略の担い手として捉える、ゲーム理論の一分野。1973年、メイナード・スミス＆プライスが確立した。
• 進化的に安定な戦略, Evolutionarily Stable Strategy, ESS, —: 集団のほぼ全員が採用している場合、いかなる、わずかな変異戦略の侵入も、許さない戦略。
• レプリケーター・ダイナミクス, Replicator Dynamics, 複製子動学, —: 各戦略の、集団内での割合の、時間的な変化を記述する、常微分方程式のシステム。テイラー＆ジョンカーが1978年に定式化した。
• 限定合理性, Bounded Rationality, —, —: 人間の認知能力・情報処理能力の限界により、完全な最適化を常には行えないとする、考え方。

Claude ログ

ご要望を踏まえ、通常以上に丁寧に、数式も交えて解説する。まず、ESSの正式な定義とレプリケーター・ダイナミクスについて、正確な典拠を確認する。十分な資料が集まった。ご要望通り、数式を用いて、通常以上に丁寧にMG06を執筆する。整合性を確認する。引用番号[1]〜[7]の連番、参考資料一覧7項目との対応、全HTMLタグの対応、いずれも一致した。MGシリーズ全6回が完成した。ご要望通り、数式を用いて丁寧に解説した。MGシリーズ最終回（全6回）が完成した。

主な内容

• 発想の転換を、まず明確化：古典的ゲーム理論（合理的な計算主体）と進化ゲーム理論（淘汰の産物としての戦略）の違いを、丁寧に導入
• メイナード・スミス＆プライス1973年論文：「動物の争いの論理」——それまでの「種全体の利益」という説明を退け、個体水準の説明へ転換した経緯
• タカ・ハトゲームの利得行列を数式で正確に提示：b（資源価値）・c（争いのコスト、c＞b）というパラメータで、4つのマスの値（(b−c)/2、b、0、b/2）を明示
• ESSの正式な数学的定義（本稿の中核）：2条件（E(s,s)＞E(s′,s)、またはE(s,s)＝E(s′,s)かつE(s,s′)＞E(s′,s′)）を、数式で正確に提示
• 「なぜ純粋なタカ戦略はESSでないのか」を、数式で実際に検証：(b−c)/2＜0＝E(ハト,タカ)という不等式を具体的に示し、ハトの侵入を許してしまう理由を明確化。純粋ハト戦略も同様に検証
• 混合戦略均衡 p＝b/c の導出を提示（詳細計算は範囲外としつつ、結論と意味を明示）
• レプリケーター方程式を、数式とともに丁寧に解説：dxi/dt＝xi×[fi(x)−φ(x)] という式を提示し、「平均より優れた戦略は増える」という直感的な意味を、式の構造に沿って説明
• ESSとレプリケーター・ダイナミクスの関係：静学的均衡と動学的モデルのつながりを明示
• 限定合理性・行動経済学との接続：既刊MG02の最後通牒ゲーム、MG03のムカデ・ゲームという、既に扱った具体的な逸脱事例を、進化ゲーム理論の視座から再解釈
• MGシリーズ総括：MG01〜MG06全体を、「戦略的相互作用を異なる角度から照らす」という統一的な視座で締めくくった

引用[1]〜[7]、参考資料一覧7件、全HTMLタグの対応を確認済み。

SNSリード文

なぜ純粋な「タカ」戦略は、進化的に安定しないのか——数式で検証すると、(b−c)/2＜0という不等式に行き着きます。テイラー＆ジョンカーの1978年レプリケーター方程式（dxi/dt＝xi[fi(x)−φ(x)]）まで、数式を用いて丁寧に解説する、MGシリーズ最終回です。

タイトル案

1. なぜタカは勝ち続けられないのか——数式で読み解くESS
2. たった一本の方程式が語る、自然選択のロジック
3. MGシリーズ完結：数式で理解する進化ゲーム理論