【KM05】ミクロ経済学 マーケットデザインとマッチング理論

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はじめに

本稿はKMシリーズ第II部の第4回として、マーケットデザインとマッチング理論を扱う。KM04第3章で確認したVickreyのオークション理論――価格メカニズムを通じた稀少資源の配分――に対し、本稿で扱うマッチング理論は、価格を用いない、あるいは価格だけでは解決できない配分問題を扱う点に理論的な特徴がある。この理論的枠組みを、近年急速に拡大したライドシェア・配車マッチングプラットフォームという、交通経済学における新しい実証対象に適用することが、本稿のもう一つの課題である。

本稿の構成は次の通りである。まずマッチング理論の基礎として、Gale-Shapley（1962年）の安定マッチング理論と、Alvin E. Rothによる医療・腎臓交換への応用を扱う。続いてマーケットデザインの理論として、全米レジデントマッチングプログラム（NRMP）の再設計を扱う。さらにライドシェア・配車マッチングプラットフォームの経済学として、空間的マッチングの理論とその実証分析を扱う。最後に動的価格設定（サージプライシング）の理論的位置づけを、KK05で確認したロードプライシング論と対比しながら扱う。対応するJEL分類は、KM01で確認した通り、D4（市場構造・価格設定・市場設計）およびD8（情報・知識・不確実性）を中心とする。

マッチング理論の基礎

Gale-Shapley(1962年)の安定マッチング理論

マッチング理論の基礎を確立したのが、David GaleとLloyd S. Shapleyが1962年に『American Mathematical Monthly』誌に発表した論文「College Admissions and the Stability of Marriage」である[1]。この論文は、大学入学者選抜問題を題材としながら、より一般的には、二つの集団（男性と女性、学生と大学）の構成員が、それぞれ相手集団の構成員について選好順序を持つ状況において、双方が満足する「安定した」組み合わせをどう見出すかという問題を扱った[1]。ここで「安定性（stability）」とは、現在の組み合わせのもとで、ある男性mとある女性wが、それぞれ現在のパートナーよりも互いを選好するという「ブロッキング・ペア（blocking pair）」が存在しない状態を指す[2]。GaleとShapleyは、このような安定マッチングが常に存在することを証明するとともに、それを実際に見出すための構成的なアルゴリズム――「受入保留アルゴリズム（deferred acceptance algorithm）」――を提示した[1]。

この受入保留アルゴリズムの仕組みは次の通りである。第一段階として、すべての男性が、自らの第一選好の女性に対して申し込みを行う。各女性は、複数の申し込みを受けた場合、その中で最も選好する男性を暫定的に保留し、他を拒否する。第二段階として、拒否された男性は、次に選好する女性に申し込みを行う。女性は、新たな申し込みと、既に保留している男性とを比較し、より選好する方を改めて保留する。この過程を、すべての男性が受け入れられるまで繰り返す。GaleとShapleyは、このアルゴリズムが必ず有限回の反復で終了し、かつ、その結果得られるマッチングが安定であることを証明した[1]。さらに重要な性質として、この「申し込む側（本稿の説明では男性）」にとって、このアルゴリズムが生成するマッチングは、あらゆる安定マッチングの中で最も望ましいもの（男性最適安定マッチング）であることも示されている。

Shapley-Scarf(1974年)の住宅市場理論とトップ・トレーディング・サイクル

Gale-Shapleyのモデルが、二つの異なる集団（男性と女性、学生と大学）の間の「両側マッチング（two-sided matching）」を扱うのに対し、Lloyd S. ShapleyとHerbert Scarfが1974年に発表した論文「On Cores and Indivisibility」は、単一の集団内において、各主体が既に一つの不可分財（典型的には住宅）を保有しており、金銭のやり取りを伴わずに、互いに財を交換することでより望ましい配分を実現しようとする「一側マッチング（one-sided matching）」、通称「住宅市場（housing market）」というモデルを提示した[3]。ShapleyとScarfは、David Galeが考案した「トップ・トレーディング・サイクル（top trading cycles、TTC）」というアルゴリズムを紹介し、このアルゴリズムが生成する配分が、常にコア（どの提携によっても、その構成員全員を悪化させることなく改善できないという意味で安定な配分）に属することを証明した[3]。

TTCアルゴリズムの仕組みは次の通りである。第一段階として、各主体は、自らが最も望ましいと考える財（自分自身が保有する財を含む）を「指差す」。この指差しの連鎖は、有限個の主体からなる集団である限り、必ず一つ以上の巡回（サイクル）を形成する。第二段階として、各サイクルに含まれる主体の間で、指差された財を実際に交換し、これらの主体と財を市場から除外する。第三段階として、残った主体・財について、この手続きを繰り返す。ShapleyとScarfは、この手続きが必ず有限回で終了し、生成される配分が一意にコアと一致することを示した[3]。この理論は、Gale-Shapleyのモデルと並ぶ、マッチング理論のもう一つの基礎的な支柱として位置づけられている。

TTC理論の交通分野への含意は明確である。空港の発着枠、駐車許可証、タクシー営業許可（メダリオン）といった、金銭的な取引market（KM04で確認したオークション）だけでなく、既存の保有者間での交換を通じた再配分が実務上望まれる稀少な交通資源は、いずれもShapley-Scarf型の住宅市場モデルの枠組みで分析することができる。この視座は、KM04第3章3.2で確認した空港発着枠の「既得権（グランドファーザー・ライツ）」に基づく既存配分を前提とした上で、既存の保有者間での効率的な再配分を実現する二次市場の設計に、直接の理論的基盤を提供する。

Rothによる医療・腎臓交換への応用

Gale-Shapleyの理論的な貢献を、現実の制度設計へと橋渡ししたのが、Alvin E. Rothによる一連の研究である。Rothは1984年に発表した論文において、米国の医学生と病院研修プログラムとをマッチングする「全米レジデントマッチングプログラム（National Resident Matching Program、NRMP）」――1951年から運用されてきた、Gale-Shapleyの理論的発見に先行する実務的な制度――が、実質的に受入保留アルゴリズムと同型の手続きを用いていたことを明らかにした[4]。この発見は、理論的発見（1962年）に先立って、独立に類似の解決策が実務の現場で編み出されていたという、学説史上興味深い事実を示すものである。

Rothはさらに1999年に、Elliott Peransonとともに発表した論文「The Redesign of the Matching Market for American Physicians: Some Engineering Aspects of Economic Design」において、NRMPの制度改革に直接関与した経緯を報告している[5]。この改革の背景には、夫婦で同時に研修先を探す医学生カップルへの対応など、単純な一対一マッチングでは扱いきれない、現実の複雑な制約条件への対応の必要性があった。Rothはこの経験を通じて、マッチング理論を、抽象的な数学的定理としてではなく、現実の制度設計における具体的な「エンジニアリング」の道具として活用するというアプローチを確立し、この姿勢は、後年「マーケットデザイン（market design）」という新しい研究領域の確立へとつながっていく。

Rothの応用研究の中でも特に大きな社会的インパクトを持ったのが、腎臓移植のための「腎臓交換（kidney exchange）」の制度設計である。Roth、Tayfun Sönmez、M. Utku Ünverが2004年に『Quarterly Journal of Economics』誌に発表した論文「Kidney Exchange」は、生体腎移植において、患者と提供者（多くは家族）の血液型・組織適合性が一致しない場合に、複数の患者・提供者ペアの間で、提供者を交換することで、より多くの患者が適合する腎臓を得られるようにする仕組みを、マッチング理論の枠組みで定式化した[6]。この定式化は、本節で確認したShapley-Scarf型の住宅市場モデル――提供者を「保有する財」、患者を「主体」とみなす類推――を、医療という文脈に応用したものとしても理解することができる。この論文が公表された2004年当時、米国では8577件の死体腎移植が行われた一方、3971人の患者が移植を待つ間に死亡、あるいは重症化により移植適応から外れていたことが報告されている[6]。RothらはTayfun SönmezとM. Utku Ünverとともに、2005年にはニューイングランド地域における腎臓交換プログラム（NEPKE）の設立に直接関与し、理論を現実の医療制度として実装するに至った[7]。この一連の業績により、RothはLloyd Shapleyとともに、2012年にノーベル経済学賞を受賞している。

主要先行研究

本節で扱ったマッチング理論の主要文献を一覧すると、次の通りとなる。

マーケットデザインの理論

マーケットデザインという分野の確立

Rothは2002年に『Econometrica』誌に発表した論文「The Economist as Engineer: Game Theory, Experimental Economics, and Computation as Tools of Design Economics」において、マーケットデザインという新しい経済学のサブディシプリンの方法論的な立場を明確化した。この立場は、経済学者を、市場の振る舞いを外部から観察・説明する「科学者」としてだけでなく、現実に機能する市場・配分制度を設計する「エンジニア」としても位置づけるものであり、KM01第2章で確認した標準的なミクロ経済学の理論体系（消費者理論・生産者理論・市場均衡分析）を、実際の制度設計に応用するための、方法論的な架け橋を提供するものであった。

このマーケットデザインという視座は、KK06第5章で確認したPSO制度・アルトマルク基準――公共サービス提供のための契約・入札制度を、いかに設計すべきかという問題――とも、理論的な親和性を持つ。すなわちPSO契約の設計は、KM04で確認したオークション理論（価格を通じた配分）の応用であると同時に、本節で確認したマッチング理論・マーケットデザインの視座――制度の細部（申込み・拒否の手続き、情報開示の方法等）が、実際の配分結果の効率性・公平性を大きく左右するという認識――からも、検討されるべき対象である。

主要先行研究

本節で扱ったマーケットデザイン理論の主要文献を一覧すると、次の通りとなる。

ライドシェア・配車マッチングプラットフォームの経済学

空間的マッチングの理論

本稿第1章・第2章で確認したマッチング理論は、近年、Uber・Lyftに代表されるライドシェア・配車マッチングプラットフォームという、交通経済学における新しい実証対象への応用を通じて、さらなる発展を遂げている。ライドシェアにおけるマッチングは、Gale-Shapleyが扱った静学的な一対一マッチングとは異なり、（1）乗客とドライバーが地理的に分散して存在するという空間的な次元、（2）双方が時々刻々と到着・退出するという動学的な次元、という二つの追加的な複雑性を伴う点に特徴がある。この空間的・動学的なマッチング問題は、KM02第2章で確認したMcFaddenの離散選択理論とも接続し、乗客がどのドライバーとマッチングされるか、ドライバーがどの配車依頼を受諾するかという意思決定を、確率的な効用最大化の枠組みで分析する研究が蓄積されてきた。

この空間的マッチング問題を、探索理論（サーチ理論）の枠組みでより厳密に定式化した重要な研究が、Nicholas Buchholzが2022年に『Review of Economic Studies』誌に発表した論文「Spatial Equilibrium, Search Frictions, and Dynamic Efficiency in the Taxi Industry」である[8]。Buchholzは、ニューヨーク市のイエローキャブ（メダリオン制タクシー）の包括的なデータを用いて、空車タクシーと乗客との間の動学的な空間探索・マッチング均衡を明示的にモデル化した[8]。このモデルでは、空車タクシーは、乗客を見つける確率が地域・時間帯によって異なることを織り込みながら、次にどの地域へ向かうべきかを、動学的最適化問題として解く主体として扱われる。Buchholzの推定結果は衝撃的なものであり、探索摩擦（search frictions）――空車タクシーと乗客とが、互いの存在を知りながらも、地理的な距離ゆえに即座にはマッチングできないという摩擦――により、年間4億2200万ドル、厚生の62%が失われていることを示した[8]。さらに、既存のメダリオン規制・固定運賃制度のもとでの効率性は、社会的計画者が達成しうる効率性のわずか11%にとどまる一方、最適化された二部料金制（time-of-day・地域別の価格差別を含む動的な料金体系）を導入すれば、効率性を89%まで改善し、年間21億ドル相当の厚生利得が得られると推計されている[8]。

この推計結果は、KK05第2章で確認したVickreyのボトルネックモデルが示す「時間帯別の動学的な価格調整による効率性改善」という理論的な命題を、タクシー市場という具体的な文脈で、定量的に実証したものとして理解することができる。同時に、Buchholzの研究は、規制（メダリオン制・固定運賃）そのものが、KK09第2章で確認したAverch-Johnson効果とは異なる経路――探索摩擦を放置し、空間的なミスマッチを継続的に発生させるという経路――を通じて、交通市場に大きな非効率をもたらしうることを示す点で、KK09で確認した規制の経済学の系譜に、新たな実証的知見を付け加えるものである。

Cramer-Krueger(2016年)によるUberの実証分析

ライドシェアの経済学的な効率性を実証的に検証した重要な研究が、Judd CramerとAlan B. Kruegerが2016年に『American Economic Review』誌に発表した論文「Disruptive Change in the Taxi Business: The Case of Uber」である[9]。この研究の中心的な問いは、Uberのようなライドシェアプラットフォームが、伝統的なタクシー事業と比較して、車両稼働率（実車率、すなわち乗客を乗せて走行している時間の割合）をどれだけ改善したかという点にある。CramerとKruegerは、UberXドライバーの実車率が、都市によっては伝統的なタクシーの実車率を大きく上回ることを示し、この改善の要因を、（1）Uberのより効率的なマッチング技術（GPSに基づくリアルタイムな需給マッチング）、（2）Uberドライバーが乗客を降ろした場所で新たな配車依頼を待つのではなく、需要の多い地域へと能動的に移動する傾向、（3）Uberの規模の経済（より多数のドライバー・乗客がプラットフォーム上に存在することで、マッチングの精度が向上するというネットワーク効果）という、複数の要因に帰した[9]。

この実証結果は、KK03第3章で確認したKatz-Shapiro（1985年）のネットワーク外部性理論の、ライドシェア市場における具体的な現れとして理解することができる。すなわち、より多くのドライバー・乗客がプラットフォームに参加するほど、マッチングの効率性（待ち時間の短縮、実車率の向上）が高まるという構造は、KK03で確認した「利用者数の増加が個々の利用者にとっての価値を高める」というネットワーク外部性の、労働市場・交通市場の双方にまたがる複合的な現れである。

主要先行研究

本節で扱ったライドシェア経済学の主要文献を一覧すると、次の通りとなる。

動的価格設定(サージプライシング)の理論的位置づけ

Chen-Sheldon(2016年)の労働供給分析

ライドシェアプラットフォームに特徴的な価格設定手法が、需給の逼迫状況に応じてリアルタイムに料金を変動させる「動的価格設定（dynamic pricing）」、通称「サージプライシング（surge pricing）」である。この仕組みの経済学的な機能を実証的に分析した重要な研究が、M. Keith ChenとMichael Sheldonが2016年に発表した論文「Dynamic Pricing in a Labor Market: Surge Pricing and Flexible Work on the Uber Platform」である[10]。この研究の理論的な焦点は、サージプライシングが、単に需要超過時の乗客への価格シグナルとして機能するだけでなく、Uberドライバーという柔軟な労働供給者に対する「労働市場における動的な賃金シグナル」としても機能する点にある[10]。すなわち、サージ倍率の上昇は、当該地域・時間帯における実効的な時間当たり賃金の上昇を意味し、この賃金シグナルに反応して、追加的なドライバーがプラットフォームにログインし、稼働を開始するという労働供給の調整メカニズムが働く[10]。

KK05のロードプライシング論との対比

このサージプライシングの理論的構造を、KK05第2章で確認した混雑課金（コンジェスチョン・プライシング）の理論と対比すると、興味深い異同が浮かび上がる。両者はいずれも、KK01第2章で確認したピグー的伝統――需給の逼迫に応じた価格調整を通じて、資源配分の効率性を改善するという発想――を共有する点で、理論的に同型の系譜に属する。KK03第2章で確認したVickreyのボトルネックモデルが示した「時間帯別の動学的な混雑課金」という発想は、まさにサージプライシングが実践している価格メカニズムそのものである。

もっとも、両者には重要な相違点も存在する。第一に、KK05で確認した混雑課金は、主として需要側（自動車利用者）の行動――道路利用の抑制、時間帯のシフト――を調整することを主目的とするのに対し、サージプライシングは、本節3.1で確認した通り、需要側の調整に加えて、供給側（ドライバー）の労働供給を積極的に呼び込むという、双方向の調整メカニズムとして機能する点に特徴がある。第二に、KK05で確認した道路インフラは、KK03第4章で確認した通り、費用逓減産業としての性質を持つ公共財・準公共財であるのに対し、ライドシェアプラットフォームにおける車両供給（ドライバー）は、KM01第2章で確認した標準的な労働供給理論に従う、より市場的な性質の強い資源である。この相違は、KK05で確認した混雑課金の収入が、しばしば公共目的（道路整備、公共交通への再投資）に充当されるべきであるという規範的な議論を伴うのに対し、サージプライシングの収入増加分は、KK01第3章で確認した受益者負担原則の観点からは、より直接的にドライバーへの追加的な対価として還元されるべきであるという、異なる規範的含意を持つことを示唆する。

この対比は、KK01第4章で確認した公共経済学と、KM01で確認したミクロ経済学との、方法論的な違いを象徴する事例でもある。すなわち、KK05の混雑課金論が、道路という公共財の効率的な利用を目的とする公共経済学的な問題設定であったのに対し、本節で確認したサージプライシングは、Uberという私企業が、自らの利潤最大化（あるいはプラットフォーム全体の効率性最大化）を目的として採用する、より純粋にミクロ経済学的な価格戦略である。もっとも、両者が依拠する数理的な構造――需給の逼迫に応じた動的な価格調整――が同型である以上、KK05で確立した理論的知見は、サージプライシングという私企業の価格戦略を分析する上でも、直接に応用可能な理論的資源を提供する。

主要先行研究

本節で扱った動的価格設定の主要文献を一覧すると、次の通りとなる。

おわりに

本稿では、マッチング理論の基礎（Gale-Shapleyの安定マッチング理論、Rothによる医療・腎臓交換への応用）、マーケットデザインの理論（NRMPの再設計、マーケットデザインという分野の方法論的確立）、ライドシェア・配車マッチングプラットフォームの経済学（空間的マッチングの理論、Cramer-Kruegerによる実証分析）、そして動的価格設定の理論的位置づけ（Chen-Sheldonの労働供給分析、KK05のロードプライシング論との対比）を扱った。本稿を通じて確認できたのは、マッチング理論・マーケットデザインという、価格メカニズムに必ずしも依拠しない配分理論が、ライドシェアプラットフォームという現代の交通経済において、KK01〜KK09で確立してきた公共経済学的な理論群と、しばしば同型の数理的構造を共有しながら、異なる制度的文脈（私企業の利潤最大化 vs 公共部門の効率性・公平性）のもとで応用されているという点である。

次回KM06では、本稿で確認した情報の経済学・ゲーム理論の理論的基盤を踏まえた上で、交通市場における競争戦略をより本格的に扱う。

参考資料一覧

1. Gale, D. and Shapley, L.S. (1962) “College Admissions and the Stability of Marriage,” American Mathematical Monthly 69(1): 9-15
2. 安定マッチング・ブロッキングペアの定義についての学術的解説（AMS Feature Column「The Stable Marriage Problem and School Choice」を参照）
3. Shapley, L.S. and Scarf, H. (1974) “On Cores and Indivisibility,” Journal of Mathematical Economics 1(1): 23-37
4. Roth, A.E. (1984) “The Evolution of the Labor Market for Medical Interns and Residents: A Case Study in Game Theory,” Journal of Political Economy 92(6): 991-1016
5. Roth, A.E. and Peranson, E. (1999) “The Redesign of the Matching Market for American Physicians: Some Engineering Aspects of Economic Design,” American Economic Review 89(4): 748-779
6. Roth, A.E., Sönmez, T., and Ünver, M.U. (2004) “Kidney Exchange,” Quarterly Journal of Economics 119(2): 457-488；同 (2005) “Pairwise Kidney Exchange,” Journal of Economic Theory 125(2): 151-188
7. Roth, A.E.（ニューイングランド地域腎臓交換プログラム（NEPKE）設立への関与についての学術的解説を参照）
8. Buchholz, N. (2022) “Spatial Equilibrium, Search Frictions, and Dynamic Efficiency in the Taxi Industry,” Review of Economic Studies 89(2): 556-591
9. Cramer, J. and Krueger, A.B. (2016) “Disruptive Change in the Taxi Business: The Case of Uber,” American Economic Review 106(5): 177-182
10. Chen, M.K. and Sheldon, M. (2016) “Dynamic Pricing in a Labor Market: Surge Pricing and Flexible Work on the Uber Platform,” ACM Conference on Economics and Computation

年表

• 1951年 ― 全米レジデントマッチングプログラム(NRMP)運用開始(理論的発見に先行する実務的制度)
• 1962年 ― David Gale・Lloyd Shapley、「College Admissions and the Stability of Marriage」で受入保留アルゴリズムを発表
• 1974年 ― Lloyd Shapley・Herbert Scarf、「On Cores and Indivisibility」でトップ・トレーディング・サイクルを発表
• 1977年 ― Alvin Roth・Andrew Postlewaite、不可分財市場における弱支配・強支配の理論を発表
• 1982年 ― Roth、マッチングの安定性とインセンティブに関する理論的検証を発表
• 1984年 ― Roth、NRMPと受入保留アルゴリズムの同型性を発見
• 1999年 ― Roth・Elliott Peranson、NRMPの再設計(カップル制約への対応)を実施
• 2002年 ― Roth、「The Economist as Engineer」でマーケットデザインの方法論を確立
• 2003年 ― Roth・Tayfun Sönmez・M. Utku Ünver、腎臓交換モデルをNBERワーキングペーパーとして発表
• 2004年 ― 同、「Kidney Exchange」をQuarterly Journal of Economicsに発表
• 2005年 ― ニューイングランド地域腎臓交換プログラム(NEPKE)設立
• 2005年 ― Abdulkadiroğlu・Pathak・Roth・Sönmez、ボストン公立学校マッチング制度を分析
• 2005年 ― Roth・Sönmez・Ünver、「Pairwise Kidney Exchange」をJournal of Economic Theoryに発表
• 2012年 ― Roth・Shapley、マッチング理論の功績でノーベル経済学賞受賞
• 2016年 ― M. Keith Chen・Michael Sheldon、Uberのサージプライシングと労働供給の関係を発表
• 2016年 ― Judd Cramer・Alan Krueger、Uberの実車率に関する実証研究をAmerican Economic Reviewに発表
• 2016年 ― Nicholas Buchholz、タクシー空間探索理論をジョブマーケットペーパーとして発表
• 2018年 ― Cody Cook・Rebecca Diamond ら、ライドシェアドライバーの性別間所得格差を実証
• 2022年 ― Buchholz、「Spatial Equilibrium, Search Frictions, and Dynamic Efficiency in the Taxi Industry」をReview of Economic Studiesに発表

用語集

• Two-Sided Matching: 両側マッチング:二つの異なる集団(男性と女性、学生と大学等)の間で行われるマッチング。Gale-Shapleyのモデルが対象とする問題類型。
• One-Sided Matching (Housing Market): 一側マッチング(住宅市場):単一集団内で、各主体が既に保有する不可分財を、金銭を介さず交換し合う問題類型。Shapley-Scarfのモデルが対象とする問題類型。
• Deferred Acceptance Algorithm: 受入保留アルゴリズム:申込みと暫定的保留・拒否を反復することで安定マッチングを生成する、Gale-Shapleyが提示したアルゴリズム。
• Blocking Pair: ブロッキングペア:現在のマッチングよりも互いを選好する、異なるペアに属する二者の組み合わせ。この不在がマッチングの「安定性」を定義する。
• Top Trading Cycles (TTC): トップ・トレーディング・サイクル:各主体が最も望ましい財を指差すことで循環(サイクル)を形成し、サイクル内で財を交換する、住宅市場問題のコア配分を実現する手続き。
• Market Design (as Engineering): マーケットデザイン(エンジニアリングとしての):経済学者を市場の観察者としてだけでなく、機能する市場・配分制度の設計者として位置づける方法論的立場。Rothが提唱。
• Search Frictions: 探索摩擦:互いの存在を知りながらも、地理的な距離等により即座にはマッチングできないことから生じる非効率性。
• Spatial Mismatch (in Matching Markets): 空間的ミスマッチ(マッチング市場における):空車タクシー等の供給主体と需要主体が、地理的に分散していることで生じる非効率な配分状態。
• Dynamic Pricing (Surge Pricing): 動的価格設定(サージプライシング):需給の逼迫状況に応じてリアルタイムに料金を変動させる価格設定手法。需要抑制と供給誘引の双方向的な調整機能を持つ。